足球的几何结构？
@李强 答得很好，但我还想补充一点东西. 我们不妨用数学的符号语言来表达“球”是什么形状（当然这是非常抽象的表达）。考虑三维空间中一个闭曲面 S 经过下列变换后不变形：
\begin{align} \tag{1}\label{eq1} (x， y， z) &\mapsto (u， v， w(u，v))\\ \tag{2}\label{eq2} u&=a+bu-cz^2 \\ v&=c+vdz +ezz\\ w&=f+gxyz. \end{align}
其中 a，b，c，d，e，f 和 g 是常数。这个变换实际上就是坐标变换 u，v，w 的方程，而且显然满足平行四边形法则。 这样的坐标变换是存在的，因为 S 在经过适当的平移、缩放和旋转之后可以写成：
S： x = c_1，y = c_2， z = f(c_3)， \tag{3} 其中 f(s) 不依赖 z；又由平面性可知 x = y = s 时 z 等于某个确定值 c_4。将方程 \eqref{eq1}～\eqref{eq2}代入到方程 \eqref{eq3}可得
\det\left[ {\begin{array}{ccc}
1 & b & cz^2 \\
c & d & ez^2 \\
0 & 1 & f/z \\
\end{array}} \right]\neq 0 \Rightarrow abcefg\neq 0. \tag{4} 这个非零条件保证了存在这样一组坐标变换。事实上如果一组坐标变换 \eqref{eq1}～\ensuremath{\eqref{eq2}}不满足条件式 \eqref{eq4}，则对于任意的 z 它都不变，因此它是常值映射，这与 S 有不同曲率在 z = \pm \infty 处是不连续的矛盾！于是我们就证明了：
1．方程组 \eqref{eq1}～\enquote{(4)}有解。也就是说，我们可以找到一组合适的系数来使这组变换成立。并且这些系数都是实数。（这是因为 S 在复平面是闭曲线，因此必然经过实数系点（否则它在复平面上会有奇点））
2．只要满足条件式 \enquote{(4)}的一组系数都存在。 方程组 \eqref{eq1} 描述了几何体的几何性质，而 \eqref{eq4}决定了哪些系数组成的函数族是有意义的。这就是对足球几何结构的数学解释。现在的问题在于，上面所给的那组系数是不是实际上的那些系数？
我们知道，要构成一个实际的足球面，我们需要先构造一张网——把很多根很细的线扎在一起就成了一张网。然后把这个网的顶点全部焊在一起，这样整个面就被固定成型了。那么这些被焊接在一起的顶点是怎样的呢？这可以用下图来说明：
从上图可以看出，每个点都被焊到了另外8个点上。于是如果我们能够求出这个网的所有顶点的位置，那么这个网的实际几何结构就完全确定了(虽然可能由于太细而看不见，但是确实是实的，而非虚的） 那么我们怎样才能求得所有顶点的位置呢？首先我们要注意一点，即焊接点是均匀分布在整个面上的。换句话说，任意两个相邻的顶点对（比如图中的A-B点和C-D点）距离相等。
下面我们来证明这个结论。我们先假设这个结论不成立。即任意两点间都有绝对的不等关系。于是不妨设C和E的距离最短，为s_1，则A和F的距离最长，为s_2且s_2 > s_1。
根据刚才的分析，我们可以知道，B和F之间的距离为l_1小于A和F之间的间距——否则就会有一个更短的路径连接A与F。同样我们可以知道， A和D之间也一定存在一条路径比C和E短，长度为l_2。于是我们就可以作出如图下所示的一条折痕：
这条折痕将原来的三角形分割成四个小三角形ABCD，EFGHIJ，JKLMNOPQR以及STUVWXYZ123.不难看出，这四个三角形的面积之和恰好为零，这表明这两个区域分别是一个封闭曲面的一部分。
然而问题是，这两块区域不是同一个面啊！这意味着这两者之间必定存在一个大三角形。而我们刚才已经说了这个大三角形被我们的折痕分成了四小块——这不合理！所以之前我们假设的错误。于是我们可以得到这个网所有的顶点在同一个曲面 S 上，并且它们均匀地分布在 S 上。
接下来我们要做的就是找出方程 \eqref{eq1}～’eq4‘的意义——也就是通过求解微分方程来找到S的具体表达形式。不过由于这个问题比较复杂我就不详细解释了…… 以上所有内容均为个人观点，仅供参考。如有错误欢迎指出。