足球彩票有漏洞吗？
这个问题的核心就是，如何能够确定一个赌博游戏是否存在漏洞，或者说，如果出现了什么结果能够让玩家在计算上占优。 首先我们得先引入一个概念，这个概念是随机事件概率中比较重要的一个结论：切肖尔(Chebyshev)不等号：对于任意两个事件A，B，\frac{P(A^c)}{P(B^c)} \leqslant \frac{P(A)}{P(B)}. 记 \theta 为上述比例的最小值，则有 P(A)^{\theta} \geqslant P(B)^{\theta} \\ 这个结论说明，如果一个事件发生概率为p，另一个事件发生的概率为q，那么至少有一个事件发生概率大于等于 p+ q. 接下来我们引入另一个结论：勒让德(Legendre)不等式。对于两个事件 A 和 B 以及任意正数 x，y 有 (Ax+ By)^{\theta}\geqslant x^{a} y^{b} 其中 a=1-\theta b=\theta. 当且仅当 A= B 的时候等号成立，这时候 \theta= \nicefrac{a+b}{2}. 所以我们可以得到如下结论： 如果存在两种选择，一种策略的下注金额是另一策略下注金额的 k 倍，则这种策略的组合盈利率至少比另一种策略组合高k个百分比点。 上面两个结论其实描述了同一件事，就是如果我们发现了某个策略的组合收益率明显高于另一个策略（用数学语言描述就是两个策略的收益差距在统计意义上显著不为0），我们就可以认为至少其中一种策略一定存在错误，或者说一定有优化的空间。 回到问题中来，假设我们发现了某种策略组合的胜率达到80%而另外一种只有50%，那么我们就可以得出第一个策略的组合盈利率至少是第二个策略的3倍。 而如果第一种策略只需要投入一元钱，第二种策略需要投入4元，那么按照上面的结论，第一种策略的盈利至少要比第二种策略多3元。所以无论哪种方式下注，第一种策略总归是最赚的。 这看起来似乎很完美，但问题是我们无法保证找到的策略真正存在错漏。
为了证明某项策略确实有问题，我们还需要做一件事：证明即使策略正确，我们在初始状态也会陷入亏损。 这时候我们就引用了赌徒错误定理(gambler's fallacy)来证明了这件事： 假设某个策略在连续 n 次游戏之后，胜利了 m 次，失败的次数则是 n-m，按照赌徒错误定理，在下一次游戏当中，这个策略成功的概率应该会增大 \nicefrac{m}{n} 的概率。
换句话说，连续失败或者连续成功都会使得玩家下一次修改策略的可能性大增。而这显然不是我们希望看到的，毕竟我们总是希望玩家能够持续使用同一个策略。 不论前面论证得多完美，只要有连续的胜利或者连续的失败，就会破坏整个论证。而有了这个谬误，我们就可以确保某个策略无论看起来多么美好，实际上必定是一堆臭狗屎。